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Voie générale · Spécialité mathématiques · Terminale

Récurrence : rédiger et démontrer en Terminale

Récurrence : rédiger et démontrer : distinguer les étapes ; encadrer une suite ; diagnostiquer et renforcer.

L’essentiel pour commencer

5 à 10 min

Une preuve par récurrence comporte une initialisation, une hérédité sous hypothèse de récurrence, puis une conclusion valable pour tous les entiers du domaine.

Un exemple expliqué

u₀ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ + 2. Prouve uₙ = 2n + 1.

  1. Initialisation : u₀ = 1 = 2 × 0 + 1.
  2. Hérédité : si uₙ = 2n + 1, alors uₙ₊₁ = 2n + 3 = 2(n + 1) + 1.
  3. La formule est donc vraie pour tout entier n ≥ 0.
À toi de jouer · 2 questions corrigées

Essaie sur une feuille avant d’ouvrir chaque réponse. Ces questions sont indépendantes des fiches PDF.

Question 1

u₀ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ + 4. Prouve uₙ = 4n + 3.

Voir le corrigé de la question 1
  1. À n = 0, la formule donne 3. Si uₙ = 4n + 3, alors uₙ₊₁ = 4n + 7 = 4(n + 1) + 3.
  2. Par récurrence, la formule vaut pour tout n ≥ 0.

Question 2

Une propriété est vraie pour n = 0. Cela suffit-il pour une preuve par récurrence ?

Voir le corrigé de la question 2
  1. L’initialisation vérifie seulement le premier rang ; il manque le passage d’un rang au suivant.
  2. Non : il faut aussi démontrer l’hérédité.

Exercices de Terminale à imprimer

3 fiches gratuites sur cette notion. 60 à 120 min. Les PDF ci-dessous n’ont pas encore de corrigé complet. Les deux questions en ligne ont leurs réponses expliquées.

Crayon, règle et cahier de recherche ; calculatrice pour vérifier seulement Imprime à 100 % pour conserver les dimensions des tracés.

Conseils et parcours d’apprentissage

Les compétences travaillées

  • Distinguer les étapes
  • Encadrer une suite
  • Diagnostiquer et renforcer

Comment s’y prendre

Séparer initialisation, hypothèse de récurrence, hérédité et conclusion.

Une erreur à éviter

Vérifier quelques rangs ne démontre pas la propriété pour tous les entiers. L’hérédité doit partir d’une hypothèse clairement formulée.

Avant et après cette notion

Des problèmes corrigés pour réinvestir

Ces dossiers proposent d’autres situations ; leurs corrigés concernent les problèmes de ces dossiers.

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